Explosión y conservación del momento lineal

Ejercicio Aplicación de la Conservación del Momentum

Un proyectil viaja de forma horizontal a una velocidad de 10 km·s⁻¹ con respecto al suelo. En un instante dado, estalla en tres partes de igual masa. Después de la explosión:

• El primer fragmento continúa moviéndose de forma horizontal a 18 km·s⁻¹.
• El segundo fragmento avanza con una trayectoria que forma un ángulo de 45° por encima de la horizontal.
• El tercer fragmento se dirige con un ángulo de 45° por debajo de la horizontal.

Se desea determinar la magnitud de las velocidades del segundo y tercer fragmentos.

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Solución paso a paso

1. Datos iniciales y suposiciones

• Velocidad inicial del proyectil: $$v_0 = 10 \,\text{km·s}^{-1},$$ dirigida en el eje horizontal \( \hat{i} \).
• La masa total antes de la explosión es \( M \).
• Después de la explosión, la masa se reparte en tres partes de igual magnitud: $$m = \frac{M}{3}.$$
• Velocidades finales:
  • Primer fragmento: $$\vec{v}_1 = 18\,\hat{i} \,\text{(km·s}^{-1}\text{)}.$$
  • Segundo fragmento: $$\vec{v}_2 = v_2(\cos 45^\circ\,\hat{i} + \sin 45^\circ\,\hat{j}).$$
  • Tercer fragmento: $$\vec{v}_3 = v_3(\cos 45^\circ\,\hat{i} - \sin 45^\circ\,\hat{j}).$$

2. Conservación de la cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento total antes de la explosión es:

$$ \vec{p}_\text{inicial} = M \cdot v_0 \,\hat{i} = M \times 10 \,\hat{i} = 10\,M \,\hat{i}. $$

Después de la explosión, la cantidad de movimiento total se reparte entre los tres fragmentos:

$$ \vec{p}_\text{final} = m\,\vec{v}_1 + m\,\vec{v}_2 + m\,\vec{v}_3. $$

El principio de conservación establece que \(\vec{p}_\text{inicial} = \vec{p}_\text{final}\).

2.1. Componente horizontal

Antes de la explosión, la componente \(x\) de la cantidad de movimiento es \(10\,M\). Tras la explosión:

$$ p_{x,\text{final}} = m(18) + m\bigl(v_2 \cos 45^\circ\bigr) + m\bigl(v_3 \cos 45^\circ\bigr). $$

Sustituyendo \( m = \frac{M}{3} \):

$$ 10M = \frac{M}{3}\Bigl[\,18 + v_2\cos 45^\circ + v_3\cos 45^\circ\,\Bigr]. $$

Podemos factorizar y anular \(M\) en ambos lados:

$$ 10 = \frac{1}{3}\Bigl[\,18 + v_2\cos 45^\circ + v_3\cos 45^\circ\,\Bigr], $$ $$ 30 = 18 + (v_2 + v_3)\cos 45^\circ. $$

2.2. Componente vertical

La componente \(y\) inicial de la cantidad de movimiento es cero (pues no hay velocidad vertical antes de la explosión). Después de la explosión, tenemos:

$$ p_{y,\text{final}} = m \bigl(v_2 \sin 45^\circ\bigr) - m \bigl(v_3 \sin 45^\circ\bigr). $$

Por conservación en el eje vertical, \( p_{y,\text{inicial}} = 0 \Rightarrow p_{y,\text{final}} = 0 \), entonces:

$$ m\,v_2\sin 45^\circ - m\,v_3\sin 45^\circ = 0 \quad\Longrightarrow\quad v_2\sin 45^\circ = v_3\sin 45^\circ. $$

Debido a que \(\sin 45^\circ \neq 0\), concluimos \( v_2 = v_3. \) Definimos \(\;v = v_2 = v_3.\)

3. Resolución final de la componente horizontal

Volvemos a la ecuación horizontal, donde \( v_2 + v_3 = v + v = 2v. \) Así:

$$ 30 = 18 + 2v \cos 45^\circ. $$

Despejamos:

$$ 2v \cos 45^\circ = 30 - 18 = 12, $$ $$ v \cos 45^\circ = 6. $$

Y como \( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \) tenemos:

$$ v\,\frac{\sqrt{2}}{2} = 6 \quad\Longrightarrow\quad v = \frac{6 \times 2}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}. $$

4. Conclusión

Las magnitudes de las velocidades de los dos fragmentos que viajan a \(45^\circ\) por encima y por debajo de la horizontal son:

$$ \boxed{v_2 = v_3 = 6\sqrt{2}\,\text{km·s}^{-1} \approx 8.49\,\text{km·s}^{-1}.} $$

Con esto finaliza la versión alternativa del problema.