Conservación Energía en Péndulo Simple

Problema: Péndulo simple y conservación de energía

Una masa de 5 kg, colgada de un hilo de 1 m de longitud, es separada 30° de la vertical y luego se suelta. Se pide encontrar su velocidad cuando el hilo forma un ángulo de 8° con la vertical, tanto en el mismo lado del desplazamiento inicial como en el lado opuesto.

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1. Planteamiento físico

En este tipo de problema, un péndulo simple se estudia usando la conservación de la energía mecánica, asumiendo que no hay pérdidas por rozamiento.

Definimos:

• Masa: \(m = 5\,\text{kg}\).
• Longitud del hilo: \(L = 1\,\text{m}\).
• Ángulo inicial respecto de la vertical: \( \theta_i = 30^\circ \).
• Ángulo final en el que deseamos la velocidad: \( \theta_f = 8^\circ \).
• Gravedad: \(g \approx 9.8\,\text{m/s}^2\).

La velocidad no depende de la masa (pues se anula en la ecuación de energía), y resultará idéntica cuando el péndulo pase por el mismo ángulo en un lado u otro de la vertical.

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2. Conservación de la energía mecánica

Llamaremos \( U \) a la energía potencial gravitatoria y \( K \) a la energía cinética. Suponiendo que no hay rozamiento,

$$ E_{\text{total, inicial}} \;=\; E_{\text{total, final}}. $$

Podemos escribir la energía en un ángulo general \(\theta\) (midiendo \(\theta\) desde la vertical) como:

• Energía potencial: \( U(\theta) = mg\,h(\theta) \), donde \( h(\theta) \) es el ascenso vertical con respecto a una referencia. Una forma práctica es medir la altura cero cuando la masa está en la posición más baja (es decir, \(\theta=0\)).
• Energía cinética: \( K(\theta) = \tfrac{1}{2}\,m\,v^2. \)

Para un péndulo de longitud \(L\), cuando forma un ángulo \(\theta\) con la vertical, la altura por encima del punto más bajo es:

$$ h(\theta) \;=\; L - L\cos\theta \;=\; L\bigl(1 - \cos\theta\bigr). $$

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2.1. Energía en la posición inicial (\(\theta_i = 30^\circ\))

Dado que parte del reposo al soltarla, su energía cinética inicial es \(K_i = 0\). Entonces:

$$ E_{\text{inicial}} \;=\; U_i + K_i \;=\; mg\,h(\theta_i) + 0 \;=\; mg\,\bigl[L\,\bigl(1 - \cos 30^\circ\bigr)\bigr]. $$

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2.2. Energía en la posición final (\(\theta_f = 8^\circ\))

En ese momento, la masa lleva cierta velocidad \(v\). Por tanto:

$$ E_{\text{final}} \;=\; U_f + K_f \;=\; mg\,h(\theta_f) \;+\; \tfrac{1}{2}\,m\,v^2 \;=\; mg \,\bigl[\,L\,\bigl(1 - \cos 8^\circ\bigr)\bigr] \;+\; \tfrac{1}{2}\,m\,v^2. $$

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3. Igualdad de energías: cálculo de la velocidad

La conservación de la energía mecánica \( E_{\text{inicial}} = E_{\text{final}} \) nos da:

$$ mg \,\Bigl[L \bigl(1 - \cos 30^\circ\bigr)\Bigr] \;=\; mg \,\Bigl[L\bigl(1 - \cos 8^\circ\bigr)\Bigr] \;+\; \tfrac{1}{2}\,m\,v^2. $$

El factor \(m\) se puede eliminar de toda la ecuación. Asimismo, factorizar \(gL\) para simplificar. De este modo:

$$ gL\,\bigl[\,1 - \cos 30^\circ\,\bigr] \;=\; gL\,\bigl[\,1 - \cos 8^\circ\,\bigr] \;+\; \tfrac{1}{2}\,v^2. $$

Reordenando para despejar \(v^2\):

$$ \tfrac{1}{2}\,v^2 \;=\; gL \,\Bigl[\bigl(1 - \cos 30^\circ\bigr) - \bigl(1 - \cos 8^\circ\bigr)\Bigr]. $$

Obsérvese que \( [\,1 - \cos 30^\circ\,] - [\,1 - \cos 8^\circ\,] = \cos 8^\circ - \cos 30^\circ. \) Por tanto:

$$ \tfrac{1}{2}\,v^2 = gL \bigl[\cos 8^\circ - \cos 30^\circ\bigr]. $$

Luego la velocidad queda:

$$ v = \sqrt{\,2\,gL\,\bigl[\cos 8^\circ - \cos 30^\circ\bigr]}. $$

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4. Sustitución de valores y resultado numérico

Tomemos \( g = 9.8\,\text{m/s}^2 \), \( L = 1\,\text{m} \):

• \(\cos 30^\circ \approx 0.8660\)
• \(\cos 8^\circ \approx 0.9903\)

Por tanto:

$$ \cos 8^\circ - \cos 30^\circ \;\approx\; 0.9903 \;-\; 0.8660 \;=\; 0.1243. $$

Entonces:

$$ v^2 \;\approx\; 2 \times 9.8 \times 1 \;\times\; 0.1243 \;=\; 19.6 \times 0.1243 \;\approx\; 2.4363. $$ $$ v \;\approx\; \sqrt{2.4363} \;\approx\; 1.56\,\text{m/s}. $$

Este valor vale tanto cuando la cuerda hace 8° en el mismo lado como cuando lo hace en el lado opuesto, pues la energía potencial solo depende de la altura (o equivalente, del ángulo), no del sentido del movimiento.

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5. Conclusión

La velocidad de la masa de 5 kg, cuando el péndulo forma 8° con la vertical en ambos lados, es aproximadamente

$$ \boxed{\,v \approx 1.56\,\text{m/s}\,.} $$