Cálculo del Centro de Masa de una Lámina- Ejercicio Resuelto

CM de una Lámina Usando Integrales Dobles

📋 Enunciado del Problema

Determinar las coordenadas del centro de masa de una lámina delgada homogénea (densidad constante \( \sigma \)) limitada por las curvas:

\( y = x^2 \) y \( y = x \)

en el primer cuadrante del plano cartesiano.

📚 Fundamentos Teóricos

Para una lámina plana con densidad superficial \( \sigma(x,y) \):

• Masa total: \( M = \iint\limits_{R} \sigma\ dA \)
• Momento respecto al eje Y: \( M_y = \iint\limits_{R} x\sigma\ dA \)
• Momento respecto al eje X: \( M_x = \iint\limits_{R} y\sigma\ dA \)
• Coordenadas del CM: \[ \bar{x} = \frac{M_y}{M},\quad \bar{y} = \frac{M_x}{M} \]

Nota: Al ser la densidad constante (\( \sigma = \text{cte} \)), podemos factorizarla en las integrales.

🔍 Paso 1: Configurar la Región de Integración

Puntos de intersección:

\[ x^2 = x \implies x(x - 1) = 0 \implies x = 0,\ 1 \]

Límites de integración:

\[ 0 \leq x \leq 1,\quad x^2 \leq y \leq x \]

🧮 Paso 2: Calcular la Masa Total (M)

\[ M = \sigma \int_{0}^{1} \int_{x^2}^{x} dy\ dx \]

Integral interna respecto a y:

\[ \int_{x^2}^{x} dy = x - x^2 \]

Integral externa respecto a x:

\[ \sigma \int_{0}^{1} (x - x^2) dx = \sigma \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{\sigma}{6} \]

📏 Paso 3: Calcular Momento Respecto al Eje Y (M_y)

\[ M_y = \sigma \int_{0}^{1} \int_{x^2}^{x} x\ dy\ dx \]

Resolviendo la integral interna:

\[ \int_{x^2}^{x} x\ dy = x(x - x^2) = x^2 - x^3 \]

Integral externa:

\[ \sigma \int_{0}^{1} (x^2 - x^3) dx = \sigma \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{\sigma}{12} \]

📐 Paso 4: Calcular Momento Respecto al Eje X (M_x)

\[ M_x = \sigma \int_{0}^{1} \int_{x^2}^{x} y\ dy\ dx \]

Integral interna:

\[ \int_{x^2}^{x} y\ dy = \left. \frac{y^2}{2} \right|_{x^2}^{x} = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{2} \]

Integral externa:

\[ \frac{\sigma}{2} \int_{0}^{1} (x^2 - x^4) dx = \frac{\sigma}{2} \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \frac{\sigma}{15} \]

🎯 Resultado Final

Coordenadas del Centro de Masa:

\[ \bar{x} = \frac{M_y}{M} = \frac{\frac{\sigma}{12}}{\frac{\sigma}{6}} = \frac{1}{2} \] \[ \bar{y} = \frac{M_x}{M} = \frac{\frac{\sigma}{15}}{\frac{\sigma}{6}} = \frac{2}{5} \]

\(\boxed{\left(\dfrac{1}{2},\ \dfrac{2}{5}\right)}\)

💡 Análisis del Resultado

• El centro de masa está más cerca del eje Y (\( \bar{x} = 0.5 \)) porque la masa está distribuida simétricamente horizontalmente
• La posición vertical (\( \bar{y} = 0.4 \)) refleja mayor concentración de masa en la parte inferior, típico en regiones bajo parábolas
• La densidad constante permite simplificar los cálculos al cancelarse en las fracciones finales

⚠️ Importante para Estudiantes

• Siempre verificar los límites de integración gráficamente
• Practicar cambiando el orden de integración (\( dx\ dy \))
• Confirmar que las coordenadas del CM caen dentro de la región