Obtención de la Masa de un Cuerpo Plano

Cálculo de masa con densidad variable

Problema: Masa de una lámina con densidad variable

📋 Enunciado

Calcular la masa de una lámina triangular con vértices en (0,0), (1,0) y (0,1), donde la densidad en cualquier punto (x,y) está dada por:

\[ \sigma(x,y) = x + y \quad \text{[kg/m²]} \]

🧠 Desarrollo

Paso 1: Configurar la integral doble

\[ M = \iint\limits_{T} (x + y)\ dA \]

Paso 2: Determinar límites de integración

\[ 0 \leq x \leq 1,\quad 0 \leq y \leq 1 - x \]

Paso 3: Integrar respecto a y

\[ \int_{0}^{1-x} (x + y)\ dy = \left[ xy + \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{1-x} = x(1-x) + \frac{(1-x)^2}{2} \]

Paso 4: Simplificar la expresión

\[ = x - x^2 + \frac{1 - 2x + x^2}{2} = \frac{1}{2} - \frac{x^2}{2} \]

Paso 5: Integrar respecto a x

\[ \int_{0}^{1} \left(\frac{1}{2} - \frac{x^2}{2}\right)dx = \left[\frac{x}{2} - \frac{x^3}{6}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3} \]

✅ Resultado

\[ M = \frac{1}{3}\ \text{kg} \]
\(\boxed{\dfrac{1}{3}}\)

💡 Clave de solución

  • La densidad variable requiere integración doble
  • Los límites se determinan por la geometría del triángulo
  • El orden de integración: primero \(dy\) luego \(dx\)

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