Aceleración Angular y Lineal

Aceleración Angular y Aceleración Lineal de una Rueda

Enunciado: Una rueda de 12 cm de diámetro gira inicialmente a 200 rpm (revoluciones por minuto). Al aplicar un freno, se detiene por completo en 10 segundos. Calcular:

• La aceleración angular (\(\alpha\)) de la rueda.
• La aceleración lineal (\(a\)) de un punto situado en su periferia.

Solución Detallada

1. Datos Iniciales y Conversiones

Del enunciado, identificamos los siguientes datos:

• Diámetro de la rueda: \(D = 12\,\text{cm}\).
• Radio de la rueda: \[ R = \frac{D}{2} = \frac{12\,\text{cm}}{2} = 6\,\text{cm} = 0.06\,\text{m}. \]
• Velocidad de giro inicial: \(200\,\text{rpm}\).
  Para expresar esto en rad/s: \[ \omega_0 = 200 \,\text{rev/min} \times \frac{2\pi \,\text{rad}}{1\,\text{rev}} \times \frac{1\,\text{min}}{60\,\text{s}} = \frac{400\pi}{60}\,\text{rad/s} = \frac{20\pi}{3}\,\text{rad/s}. \]
• Tiempo de frenado: \(t = 10\,\text{s}\).
• Velocidad angular final: \(\omega_f = 0\,\text{rad/s}\) (la rueda se detiene).

2. Cálculo de la Aceleración Angular

La aceleración angular \(\alpha\) se define como el cambio de la velocidad angular entre el tiempo transcurrido:

\[ \alpha = \frac{\omega_f - \omega_0}{t}. \]

Sustituyendo los valores:

\[ \alpha = \frac{0 - \frac{20\pi}{3}}{10\,\text{s}} = -\frac{20\pi}{3} \times \frac{1}{10} = -\frac{20\pi}{30} = -\frac{2\pi}{3}\,\text{rad/s}^2. \]

El signo negativo indica que se trata de una deceleración (la rueda está reduciendo su velocidad). En magnitud, \(\alpha \approx 2.094\,\text{rad/s}^2\).

Aceleración angular: \(\alpha = -\frac{2\pi}{3}\,\text{rad/s}^2 \approx -2.094\,\text{rad/s}^2.\)

3. Cálculo de la Aceleración Lineal

La aceleración lineal (tangencial) de un punto en la periferia de la rueda se obtiene multiplicando la aceleración angular \(\alpha\) por el radio \(R\):

\[ \begin{aligned} a_\text{tang} &= \left|\alpha\right| \times R \\ &= \left(\frac{2\pi}{3}\,\text{rad/s}^2\right) \times 0.06\,\text{m} \\ &= 0.06 \times \frac{2\pi}{3} \\ &= 0.04\pi\,\text{m/s}^2 \\ &\approx 0.126\,\text{m/s}^2. \end{aligned} \]

Aceleración lineal en la periferia: \(a_\text{tang} \approx 0.126\,\text{m/s}^2.\)

Nota: En muchos ejercicios, la aceleración lineal de un punto en el borde se entiende como la aceleración tangencial. Si quisiéramos la aceleración total (que incluye componente normal o centrípeta), dependería del instante considerado (ya que la rueda aún tiene velocidad angular hasta detenerse). Pero normalmente, en un problema de frenado, se pide la componente tangencial.